对任何一个非空二次曲面 $\Sigma$ 都存在空间直角坐标系, 使得 $\Sigma$ 在此直角坐标系中的方程是下列 14 种形式之一.

(1) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$,  图像为椭球面.

(2) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0$,  图像为一点.

(3) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$,  图像为单叶双曲面.

(4) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$,  图像为双叶双曲面.

(5) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z$,  图像为椭圆抛物面.

(6) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z$,  图像为双曲抛物面.

(7) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$,  图像为二次锥面.

(8) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,  图像为椭圆柱面.

(9) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$,  图像为一条直线.

(10) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$,  图像为双曲柱面.

(11) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$,  图像为两张相交平面.

(12) $x^2=2py$,  图像为抛物柱面.

(13) $x^2=a^2$,  图像为两张平行平面.

(14) $x^2=0$,  图像为一张平面.

References:

尤承业 编著 《解析几何》 北京大学出版社，2004年